群青广播II📡

寒假尾声

美赛前夕。

记录一下今天的research推进过程。

简单随机抽样 一、抽样方法与特点 定义： 简单随机抽样 从含有 N 个单元的有限总体中抽取 n 个单元组成样本，如果抽样是放回的，称为有放回简单随机抽样； 如果抽样是无放回的，称为无放回简单随机抽样。 无放回简单随机抽样有更高的效率，实践中常采用。 性质1 简单随机抽样下，每个样本被抽中的概率相等。 性质2 简单随机抽样下，总体各单元入样概率相等，最终包含概率也相等。 抽样方法： 抽签法 随机数表 计算机抽样程序(目前常用) 等 二、估计量与估计量性质 三个常用估计量： 均值估计：$\hat{\bar{Y}}=\bar{y}=\sum_{i=1}^ny_i$ 总量估计：$\hat{Y}=N\bar{y}$ 比例估计:$\hat{P}=p=\frac{a}{n}$ 对应性质（期望和方差）： 均值估计： 期望${E}(\hat{\bar{Y}})=\bar{Y}$ 无偏估计 方差${V}(\hat{\bar{Y}})=\frac{1-f}{n}S^2$ 实际工作中不知道真正的$S^2$，故用$s^2$来估计$S^2$,进而评估估计量的方差。 估计量方差的无偏估 ...

一、利用$ε$-$δ$语言描述的二元函数极限 已知二元函数 $$ f(x, y) = \frac{x^3}{3} + \frac{y^3}{3} + (x^2 - 2x - 3)\sin y, \quad (x, y) \in \mathbb{R}^2. $$ 试用 $ε$-$δ$语言描述的二元函数极限定义证明： $$ \lim_{(x, y) \to (3, 3)} f(x, y) = 18. $$ 证明： $\forall , ε > 0$。 在矩形区域 $[2, 4] \times [2, 4]$ 进行计算。首先，使用一元函数之Lagrange中值定理，对于任意给定的 $x \in [2, 4]$，都存在介于3和$x$之间的点$\xi$使得： $$ \frac{x^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \xi^2(x - 3). $$ 因此，可得： $$ \left|\frac{x^3}{3} - \frac{3^3}{3}\right| \leq 16|x - 3|, \quad \text{当 } x \in [2, 4]. $$ 同理： $$ \left|\ ...

关于一些长期规划的思考 不想把具体的思考过程放上来了，但是感觉目标清晰了不少。有点觉得当初选择大数据专业可能会更适合自己，不过现在也不错了。之所以这么说是因为感觉自己没有什么动力做理论研究，自己更喜欢广度上的探索以及一时兴起的创造。可能自己更适合做实践型的专业工作。 总结一下，想要做的是保障基本的经济宽裕和时间自由的情况下，尽可能的自由探索、思考与创造。微妙的一点是，有的时候这种自由探索、思考与创造是可以反过来有利于经济和时间压力的，如果能够实现这种情况就太好了。 红烧天堂第四章下篇正在游玩有感 四下更新不到一周，已经游玩到了day5，进度比玩四上快得多。在这个章节中，麻子采用了双线叙事，平行记叙逢川慧避难所生活以及31A的沙漠行军。章节一开始最吸引我的应该还是逢川慧所到的避难所。通过逢川慧的视角，麻子让我们看见了在这个危机世界观下正常人的生活。尽管身处人类灭亡危机之中，栖息所的人们仍然在努力的生活，里面的每个人都在通过自己的方式为栖息所贡献一份力量，只为好好地生活下去。透过慧与栖息所每个人的交流，我们可以感受到这里的生活气息以及人们活下去的坚强与希望。这种层面上，我觉得麻子对灾难剧情 ...

两道数学参考题 1. 已知函数 $Q \in C(\mathbb{R})$，证明存在 $\xi \in \mathbb{R}$，使得： $$ \int_{\xi}^{2-\xi} Q(x) , dx = \frac{\xi \left[ Q(\xi) + Q(2-\xi) \right]}{2023}. $$ 这道题原来写的过程有错误，正确的证明过程md文件丢失，只能去知乎看看我已经上传的内容了… 2,使用ε–δ定义严格证明: 若： $$ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^3 + 2x^2y + 3xy^2 + 4y^3}{\sin^2 x + 3\sin x \sin y + 5 \sin^2 y}, & (x,y)\neq(0,0),\[6pt] 0, & (x,y) = (0,0). \end{cases} $$ 则： $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0. $$ 1. 分母放缩 设 $$ D(x, y) = \sin^2 x + 3\sin x \sin y + 5\sin^2 y [- ...

注意：本篇md文件在编译的时候出现了较多未知错误，输出结果缺少了一部分公式… 4.1 数学期望 4.1.1数学期望的基本定义 定义 定义 4.1.1【简单随机变量】 对于简单随机变量 $\xi$，称： $$ \mathbb{E}(\xi) \triangleq \sum_{x \in \xi(\Omega)} x \mathbb{P}(\xi = x) \tag{4.1} $$ 为 $\xi$ 的数学期望，简称为数学期望。 定义 4.1.2【非负随机变量】 对于任意随机变量 $\xi \geq 0$，称： $$ \mathbb{E}(\xi) \triangleq \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n2^n} \frac{k-1}{2^n} \mathbb{P}\left(\frac{k-1}{2^n} < \xi \leq \frac{k}{2^n}\right) + n \mathbb{P}(\xi > n) \right) \tag{4.3} $$ 为随机变量 $\xi$ 的数学期望或均值。 定义 4.1.3【任意随机变 ...

4.3条件数学期望与最优预测 定义4.3.1【条件数学期望】 若数学期望$\xi$的数学期望存在，则称$\xi$的条件分布函数$\mathcal{F}(x|\eta = y )$所决定的数学期望为已知$\eta = y$的情况下$\xi$的条件数学期望，简称为条件期望，记作$\mathbb{E}(\xi|\eta=y)$ 定义4.3.2【条件方差】 设$\xi \in \mathscr{L}^2,\eta$为随机变量，称： $$ D(\xi|\eta = y)=\mathbb{E}((\xi - \mathbb{E}(\xi|\eta=y))^2|\eta=y) $$ 定理4.3.1【条件期望的拆分】 对于任意波莱尔函数$f(x)$和$g(x)$，随机变量$\xi$和$\eta$，若$f(\xi)g(\eta)$的数学期望存在，则有： $$ \mathbb{E}(f(\xi)g(\eta)|\eta)=g(\eta)\mathbb{E}(f(\xi)|\eta). $$ 定理4.3.2【条件期望的平滑性】 设$\xi$和$\eta$为随机变量，则： $$ \mathbb{E}(\ ...

概率论-第一章绪论 1.1随机现象及基本概念 1.1.1必然现象、随机现象、样本空间 定义 1.1.2 【事件不相容】 若事件 $A, B$ 满足 $A \cap B = \varnothing$，称事件 $A$ 和 $B$ 不相容。 定义 1.1.3【事件类的交并以及事件列】 设 $I$ 为集合，且对任意 $i \in I$，$A_i$ 是事件，称： $$ \bigcup_{i \in I} A_i = {\omega \mid \exists i \in I \text{ 使得 } \omega \in A_i } $$ 为事件类{$A_i:i \in I$}之并； 称： $$ \bigcap_{i \in I} A_i = {\omega \mid \forall i \in I \text{ 都有 } \omega \in A_i } $$ 为事件类{$A_i:i \in I$}之交。 事件列 $$ {A_n} \triangleq {A_n:n \geq 1 } $$ 定义 1.1.4【上下极限定义】 对于事件列 ${A_n}$，说： 上极限： $$ \limsu ...

3.4总样本量的确定 3.4.1 分层抽样样本量确定一般公式 令 $n_h = n w_h$，其中 $w_h$ 已经选定，于是当方差 $V$ 给定时，由 (3.4) 式 $$ V = \sum_{h=1}^{L} W_h^2 \frac{1 - f_h}{n_h} S_h^2 = \sum_{h=1}^{L} \frac{W_h^2 S_h^2}{n_h} - \sum_{h=1}^{L} \frac{W_h^2 S_h^2}{N_h} $$ 进一步化简得 $$ V = \frac{1}{n} \sum_{h=1}^{L} \frac{W_h^2 S_h^2}{w_h} - \frac{1}{N} \sum_{h=1}^{L} W_h S_h^2 $$ 得到确定样本量的一般公式为 $$ n = \frac{\sum_{h=1}^{L} \frac{W_h^2 S_h^2}{w_h}}{V + \frac{1}{N} \sum_{h=1}^{L} W_h S_h^2}. \tag{3.29} $$ 3.4.2 不同应用场合 估计量的精度取决于每层样本量的大小 因此: 在总样本量给定的 ...