条件数学期望

4.3条件数学期望与最优预测

若数学期望$\xi$的数学期望存在，则称$\xi$的条件分布函数$\mathcal{F}(x|\eta = y )$所决定的数学期望为已知$\eta = y$的情况下$\xi$的条件数学期望，简称为条件期望，记作$\mathbb{E}(\xi|\eta=y)$

设$\xi \in \mathscr{L}^2,\eta$为随机变量，称：

$D(\xi|\eta = y)=\mathbb{E}((\xi - \mathbb{E}(\xi|\eta=y))^2|\eta=y)$

对于任意波莱尔函数$f(x)$和$g(x)$，随机变量$\xi$和$\eta$，若$f(\xi)g(\eta)$的数学期望存在，则有：

$\mathbb{E}(f(\xi)g(\eta)|\eta)=g(\eta)\mathbb{E}(f(\xi)|\eta).$

设$\xi$和$\eta$为随机变量，则：

$\mathbb{E}(\xi)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(\xi|\eta))$

假设${\xi_k}$为独立同分布随机变量列，$\eta$为取正整数值的随机变量，$\mathbb{E}(\eta)$有限且$\eta$与${\xi_k}$则有：

$\mathbb{E}(\sum_{k=1}^n \xi_k) = \mathbb{E}(\xi_1)\mathbb{E}(\eta). \tag{4.46}$

设$\xi$,$\eta$ $\in \mathscr{L}^2$.若$f(x)$为波莱尔函数，则：

$\mathbb{E}((\xi - \mathbb{E}(\xi | \eta))^2) \leq \mathbb{E}((\xi-f(\eta))^2).$