两道数学参考题
1. 已知函数 $Q \in C(\mathbb{R})$，证明存在 $\xi \in \mathbb{R}$，使得：
$$
\int_{\xi}^{2-\xi} Q(x) , dx = \frac{\xi \left[ Q(\xi) + Q(2-\xi) \right]}{2023}.
$$
这道题原来写的过程有错误，正确的证明过程md文件丢失，只能去知乎看看我已经上传的内容了…
2,使用ε–δ定义严格证明:
若：
$$
f(x,y) = \begin{cases}
\dfrac{x^3 + 2x^2y + 3xy^2 + 4y^3}{\sin^2 x + 3\sin x \sin y + 5 \sin^2 y}, & (x,y)\neq(0,0),\[6pt]
0, & (x,y) = (0,0).
\end{cases}
$$
则：
$$
\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0.
$$
1. 分母放缩
设
$$
D(x, y) = \sin^2 x + 3\sin x \sin y + 5\sin^2 y [-\frac{\pi}{4}<x,y<\frac{\pi}{4}]
$$
则
$$
D(x, y) - \frac{\sin^2 x + \sin^2 y}{5} = \frac{4}{5} \sin^2 x + 3\sin x \sin y + \frac{24}{5}\sin^2 y.
$$
将上述表达式重写为完全平方的形式：
$$
\begin{aligned}
D(x, y) - \frac{\sin^2 x + \sin^2 y}{5} &= \frac{4}{5} \sin^2 x + 3\sin x \sin y + \frac{24}{5}\sin^2 y \
&= \frac{1}{5} \left[ \left(2\sin x + \frac{15}{4}\sin y\right)^2 + \left(24 - \frac{225}{16}\right) \sin^2 y \right] \
&= \frac{1}{5} \left[ \left(2\sin x + \frac{15}{4}\sin y\right)^2 + \frac{159}{16} \sin^2 y \right] > 0.
\end{aligned}
$$
因此，有
$$
D(x, y) > \frac{1}{5}(\sin^2 x + \sin^2 y).
$$
在区间 $x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上，我们证明不等式 $\sin^2 x \geq \frac{x^2}{2}$ 成立。
设 $g(x) = \sin^2 x - \frac{x^2}{2}$，则
$$
g’(x) = \sin 2x - x, \quad g’'(x) = 2\cos 2x - 1.
$$
通过导数分析：
- 当 $x \in \left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 时，$g’(x) < 0$，$g(x)$ 单调递减。
- 当 $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 时，$g’(x) > 0$，$g(x)$ 单调递增。
由于 $g(0) = 0$，可得在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上，
$$
g(x) \geq g(0) = 0,
$$
即
$$
\sin^2 x \geq \frac{x^2}{2}.
$$
进而推出：
$$
D(x, y) > \frac{\sin^2 x + \sin^2 y}{5} \geq \frac{x^2 + y^2}{10}.
$$
2. 三角换元
在条件$[-\frac{\pi}{4}<x,y<\frac{\pi}{4}]$下：
设 $x = R \cos \theta$，$y = R \sin \theta$，其中 $R = \sqrt{x^2 + y^2}$，则有
$$
|f(x, y)| = \left| \frac{x^3 + 2x^2 y + 3x y^2 + 4y^3}{D(x, y)} \right| = \left| \frac{R^3 (\cos^3 \theta + 2\cos^2 \theta \sin \theta + 3\cos \theta \sin^2 \theta + 4\sin^3 \theta)}{D(x, y)} \right|.
$$
我们有
$$
|x^3 + 2x^2 y + 3x y^2 + 4y^3| \leq 10 R^3.
$$
根据 分母放缩 部分，我们有
$$
D(x, y) > \frac{x^2 + y^2}{10} = \frac{R^2}{10}.
$$
因此，
$$
|f(x, y)| < \frac{10 R^3}{\frac{R^2}{10}} = 100 R.
$$
3. $\epsilon$-$\delta$ 证明
对于任意 $\epsilon > 0(\epsilon < \frac{\pi}{4})$，存在$\delta = \frac{\epsilon}{100}$，当 $\sqrt{x^2 + y^2} = R < \delta$ 时，有：
$$
|f(x, y) - 0| < 100 R < 100 \delta = \epsilon.
$$
因此，
$$
\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0.
$$
