概率论-绪论-基本定义-引理

概率论-第一章绪论

1.1随机现象及基本概念

1.1.1必然现象、随机现象、样本空间

定义 1.1.2 【事件不相容】

若事件 $A, B$ 满足 $A \cap B = \varnothing$，称事件 $A$ 和 $B$ 不相容。

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定义 1.1.3【事件类的交并以及事件列】

设 $I$ 为集合，且对任意 $i \in I$，$A_i$ 是事件，称：

$$\bigcup_{i \in I} A_i = \{\omega \mid \exists i \in I \text{ 使得 } \omega \in A_i \}$$

为事件类{$A_i:i \in I$}之并；

称：

$$\bigcap_{i \in I} A_i = \{\omega \mid \forall i \in I \text{ 都有 } \omega \in A_i \}$$

为事件类{$A_i:i \in I$}之交。

事件列

$$\{A_n\} \triangleq \{A_n:n \geq 1 \}$$

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定义 1.1.4【上下极限定义】

对于事件列 ${A_n}$，说：

• 上极限：

$$\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k$$

• 下极限：

$$\liminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k$$

不相容时 $\limsup{n \to \infty} A_n = \liminf{n \to \infty} An = \varnothing$，相容时 $\limsup{n \to \infty} An = \liminf{n \to \infty} An = lim{n \to \infty} A_n$。

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定理 1.1.?【上下极限包含关系】

$$\limsup_{n \to \infty} A_n \supseteq \liminf_{n \to \infty} A_n$$

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定理 1.1.1【交并的补运算】

设 $I$ 为集合，且对任意 $i \in I$，$A_i$ 为事件，则：

$$\overline{\bigcup_{k \in \mathcal{I}} A_k} = \bigcap_{k \in \mathcal{I}} \bar{A_k} \tag{1.8}.$$ $$\overline{\bigcap_{k \in \mathcal{I}} A_k} = \bigcup_{k \in \mathcal{I}} \bar{A_k} \tag{1.9}.$$

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证明：

实际上：

$$\omega \in \bigcup_{k \in \mathcal{P}} A_k \iff \exists k \in \mathcal{P} \text{ 使得 } \omega \in A_k \iff \forall k \in \mathcal{P} \text{ 有 } \omega \notin A_k \implies \omega \in \bigcap_{k \in \mathcal{P}} \bar{A_k}.$$

同理：

$$\omega \in \overline{\bigcap_{k \in \mathcal{P}} {A_k}} \iff \forall k \in \mathcal{P} \text{ 有 } \omega \notin {A_k} \iff \exists k \in \mathcal{P} \text{ 有 } \omega \in \bar{A_k} \implies \omega \in \bigcup_{k \in \mathcal{P}} \bar{A_k}.$$

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定义 1.1.5【σ 代数】

如果集合族具有下列性质：

1. 规范性：$\Omega \in \mathscr{F}$；
2. 余(补)运算封闭性：若 $A \in \mathscr{F}$，则 $\bar{A} \in \mathscr{F}$；
3. 可列并运算封闭性：若 $An \in \mathscr{F}, \forall n \in \mathbb{N}$，则 $\bigcup{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{F}$；

则称 $\Omega$ 上的事件族 $\mathscr{F}$ 为 $\sigma$ 代数。

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定理 1.1.2【σ 代数的性质】

设 $\mathscr{F}$ 为事件集，则如下性质成立：

1. $\varnothing \in \mathscr{F}$；
2. 可列交运算封闭性：若 $An \in \mathscr{F}, \forall n \in \mathbb{N}$，则 $\bigcap{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{F}$；
3. 有限并运算封闭性：若 $An \in \mathscr{F}, \forall n \in \mathbb{N}$，则 $\bigcup{n=1}^{k} A_n \in \mathscr{F}$；
4. 差运算封闭性：若 $A, B \in \mathscr{F}$，则 $A - B \in \mathscr{F}$。

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定义 1.1.6【生成事件域】

称所有包含 $A$ 的事件集之交为 $A$ 生成的事件域，记为 $\sigma(A)$。

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定义 1.1.7【Boral集和Boral集类】

设 $\Omega = \mathbb{R}, \mathscr{P} = {(-\infty, x): -\infty < x < \infty}$，称 $\sigma(\mathscr{P}) = \mathscr{B}$ 为 波莱尔(Boral) 集类，其中的集合称为 Boral 集。

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补充：

• 增集合列 $An$：若 $A_n \subset A{n+1}$，称为 增集合列。

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定义 1.1.8【单调类】

若集合族 $\mathcal{A}$ 满足：

1. $\Omega \in \mathcal{A}$；
2. 对于真差运算封闭，即当 $A, B \in \mathcal{A}$ 且 $A \subset B$ 时，$B \setminus A \in \mathcal{A}$；
3. 对于增集约之并运算封闭，即对于增集合列 ${An}$ 有 $\bigcup{n=1}^{\infty}A_n \in \mathcal{A}$。

则称 $\mathcal{A}$ 为 $\Omega$ 上的 单调类 或 $\lambda$类。

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显然，对于事件类 $\mathcal{A}$，记 $\lambda(\mathcal{A})$ 表示所有包含 $\mathcal{A}$ 的 $\lambda$ 类的交集，称之为 $\mathcal{A}$ 生成的 $\lambda$ 类。由引理 1.1.7 知道，$\lambda(\mathcal{A})$ 是包含 $\mathcal{A}$ 的最小 $\lambda$ 类，即若 $\mathcal{C} \supset \mathcal{A}$ 且 $\mathcal{C}$ 为 $\lambda$ 类，则有 $\lambda(\mathcal{A}) \subset \mathcal{C}$。

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补充引理

这里为了证明单调类定理，也为了方便未来利用$\lambda类和\sigma类$做逻辑推理，先引入一些必要的引理。

引理 1.1.5

样本空间 $\Omega$ 上的任意多个事件域的交还是事件域。

证明

设 $D$ 为指标集，且对于任意 $i \in D$，$\mathcal{F}i$ 为事件域，只需验证 $\mathcal{F} = \bigcap{i \in D} \mathcal{F}_i$ 满足事件域的定义。

显然，对于任意 $i \in D$，都有 $\Omega \in \mathcal{F}_i$，由交运算的定义知：

$$\Omega \in \bigcap_{i \in D} \mathcal{F}_i = \mathcal{F}.$$

即定义 1.1.5 的性质 1° 成立；

若 $A \in \mathcal{F}$，则对于任意 $i \in D$，都有 $A \in \mathcal{F}_i$，由事件域的补事件运算封闭性知 $A^c \in \mathcal{F}_i$，再由交运算的定义知 $A^c \in \mathcal{F}$，即定义 1.1.5 的性质 2° 成立；

若 $An \in \mathcal{F}$，则对于任意 $i \in D$，都有 $A_n \in \mathcal{F}_i$，再由事件域的可列并运算封闭性得 $\bigcup{n=1}^\infty An \in \mathcal{F}_i$，所以 $\bigcup{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F}$，即定义 1.1.5 的性质 3° 成立。

因此 $\mathcal{F}$ 为事件域。

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引理 1.1.6

若 $\mathcal{A}$ 为 $\Omega$ 上的事件域，则 $\mathcal{A}$ 为 $\lambda$ 类。

证明

由于 $\mathcal{A}$ 具有规范性、对减运算的封闭性和对可列并运算的封闭性，因此它为 $\lambda$ 类。

引理 1.1.7

任意多个 $\Omega$ 上的 $\lambda$ 类之交还是 $\lambda$ 类。

证明

假设 $\mathcal{A}_\alpha$ 为 $\lambda$ 类，其中 $\alpha$ 为下标集 $D$ 中元素。

1. 规范性
   由 $\Omega \in \mathcal{A}_\alpha$ 知：

   $$\Omega \in \bigcap_{\alpha \in D} \mathcal{A}_\alpha. \tag{1.13}$$

2. 对差集运算的封闭性
   若 $A, B \in \bigcap{\alpha \in D} \mathcal{A}\alpha$，且 $A \subseteq B$，由 $A, B \in \mathcal{A}\alpha$ 知 $B - A \in \mathcal{A}\alpha$，即：

   $$B - A \in \bigcap_{\alpha \in D} \mathcal{A}_\alpha. \tag{1.14}$$

3. 对增集序列的封闭性
   若增集合序列 ${An} \subseteq \bigcap{\alpha \in D} \mathcal{A}\alpha$，则 ${A_n} \subseteq \mathcal{A}\alpha$，进而 $\bigcup{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{A}\alpha$，即：

   $$\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \bigcap_{\alpha \in D} \mathcal{A}_\alpha. \tag{1.15}$$

   综上，由 (1.13) 至 (1.15) 知 $\bigcap{\alpha \in D} \mathcal{A}\alpha$ 为 $\lambda$ 类。

引理 1.1.8

若 $\Omega$ 的子集构成的集合类 $\mathcal{A}$ 对交运算封闭，即：

$$A B \in \mathcal{A}, \quad \forall A, B \in \mathcal{A}, \tag{1.16}$$

则 $\lambda(\mathcal{A})$ 对交运算封闭，即：

$$A B \in \lambda(\mathcal{A}), \quad \forall A, B \in \lambda(\mathcal{A}). \tag{1.17}$$

证明

对于任意 $B \in \mathcal{A}$，记：

$$\mathcal{C}_B = \{A \in \lambda(\mathcal{A}) : A B \in \lambda(\mathcal{A}) \}.$$

由 (1.16) 知 $\mathcal{C}_B \supseteq \mathcal{A}$，且 $\mathcal{C}_B$ 为 $\lambda$ 类。因此：

$$\mathcal{C}_B \supseteq \lambda(\mathcal{A}),$$

即：

$$A B \in \lambda(\mathcal{A}), \quad \forall A \in \lambda(\mathcal{A}), B \in \mathcal{A}. \tag{1.18}$$

类似地，对于任意 $A \in \lambda(\mathcal{A})$，记：

$$\mathcal{E}_A = \{B \in \lambda(\mathcal{A}) : A B \in \lambda(\mathcal{A}) \}.$$

由 (1.18) 可得 $\mathcal{E}_A \supseteq \lambda(\mathcal{A})$，即 (1.17) 成立。

因此，$\lambda(\mathcal{A})$ 对交运算封闭。

引理 1.1.9

假设 $\xi$ 为从 $\Omega$ 到 $\mathbb{R}^n$ 上的映射，则对于任何 $B, B_n \subseteq \mathbb{R}^n$ 有：

1. $$\xi^{-1}(\overline{B}) = \overline{\xi^{-1}(B)},$$
2. $$\xi^{-1}\left(\bigcup_n B_n\right) = \bigcup_n \xi^{-1}(B_n).$$

证明

1. 对于 $\xi^{-1}(\overline{B}) = \overline{\xi^{-1}(B)}$：
   实际上，

   $$\omega \in \xi^{-1}(\overline{B}) \iff \xi(\omega) \in \overline{B} \iff \xi(\omega) \notin B \iff \omega \notin \xi^{-1}(B) \iff \omega \in \overline{\xi^{-1}(B)}.$$

   即结论 (1) 成立。

2. 对于 $\xi^{-1}\left(\bigcup_n B_n\right) = \bigcup_n \xi^{-1}(B_n)$：
   类似地，

   $$\omega \in \xi^{-1}\left(\bigcup_n B_n\right) \iff \xi(\omega) \in \bigcup_n B_n \iff \exists n, \text{使得} \xi(\omega) \in B_n \iff \exists n, \text{使得} \omega \in \xi^{-1}(B_n) \iff \omega \in \bigcup_n \xi^{-1}(B_n).$$

   即结论 (2) 成立。

证明完毕。

1.2 两个概型

定义1.2.1：【古典概型定义】

如果样本空间 $\Omega$ 满足如下条件：

1. $\Omega$ 中只有有限多的样本点；
2. 每个样本点出现的可能性相等。

则 $\Omega$ 为古典概型。

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定理 1.2.1

在古典概型中，事件A的概率

$$\mathbb{P}(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$

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古典概型的特点：

1. 方法论：
   • 加法原理
   • 乘法原理
2. 常用问题：
   • 重排列问题
   • 排列问题
   • 组合问题
   • 占位问题
   • 生日问题
   • 抽屉问题
   • 球放问题
   • 配对问题

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定义1.2.2【几何概型】

若 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 可度量，且 $0 < m(\Omega) < +\infty$，则对于事件 $A$ 的任意部分，定义：

$$P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}.$$

满足上述抽象模型的为几何概型。

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几何概型的特点：

1. 正确使用几何模型：
   • 剖面所有特型。
2. 多维性：
   • 相互独立 or 正交。